Parciálne diferenciálne rovnice a ich aplikácie

Obsah
1
Parciálne diferenciálne rovnice a matematické modelovanie..10
1.1 Zákon zachovania hmoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Rovnica vedenia tepla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Rovnica priečneho kmitania struny . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Black – Scholesov model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2
Klasifikácia a rád parciálnych diferenciálnych rovníc 25
2.1 Rád diferenciálnej rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Rovnice prvého rádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Klasifikácia rovníc druhého rádu . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3
Parciálne diferenciálne rovnice prvého rádu 31
3.1 Homogénne rovnice prvého rádu . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Nehomogénne a kvázilineárne rovnice . . . . . . . . . . . . .
39
3.3 Príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4
Parabolické parciálne diferenciálne rovnice............ 45
4.1 Metóda Greenovej funkcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.1 Motivácia a hlavná myšlienka . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1.2 Princíp porovnávania riešeni ´ . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.3 Princíp zhladzovania a dalšie dôsledky . . . . . . . . 54
4.1.4 Nehomogénne parabolické rovnice . . . . . . . . . . . 56
4.1.5 Prípad viacrozmernej oblasti . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.6 Aplikácia na Black – Scholesov model . . . . . . . . . 58
4.1.7 Príklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Fourierova metóda separácie premenných . . . . . . . . . .. 65
4.2.1 Motivácia a hlavná myšlienka . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.2 Metóda hladania riešenia pomocou separácie premenných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66